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20250718 DILA APS IL DISPARI professionisti
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Il falso storico della Tavola Pitagorica
e il principio posizionale dell’abaco
III PARTE
Il sistema utilizzato per numerare si basa, già da tempi remoti, sulla possibilità di pensare un numero come somma delle sue unità semplici, raggruppate in gruppi di potenze della base del sistema di numerazione adottato.
Nel sistema di numerazione decimale, pertanto, i successivi gruppi contengono tante unità semplici quante ne indicano le successive potenze naturali della base ‘dieci’: 100=1, 101=10, 102=100, 103=1000, 10n…..unità.
Come è noto, tali gruppi sono considerati essi stessi ‘unità complesse’, rispettivamente del primo ordine o semplici, del secondo ordine o decine, del terzo ordine o centinaia, del quarto ordine o migliaia, e così via.
In tal modo, nel sistema decimale, dieci unità di un certo ordine formano un’unità dell’ordine immediatamente superiore. Per rappresentare un numero si può ricorrere a simboli, che possono essere sia oggetti sia segni scritti.
Nel caso della scelta di simboli-oggetto, si ha l’abaco nelle sue varie forme e la rappresentazione strumentale dei numeri.
Per rappresentare le unità semplici si usano simboli-oggetto tutti uguali fra loro (per esempio i calculi) in quantità pari al numero massimo di unità ammissibile per ogni ordine (nove nel sistema decimale), oppure in quantità minore, se si conviene di assegnare ad alcuni di essi un valore diverso, come avviene in diverse varianti sia dell’abaco a lapilli sia dell’abaco a bottoni (ove il bottone superiore vale il numero di bottoni inferiori più uno).
La distinzione dei vari ordini di unità è affidata alla diversa posizione delle scanalature in seno all’abaco.
Nel caso, invece, di simboli-scritti o cifre, si ottiene un sistema di numerazione scritta e la rappresentazione scritturale dei numeri tramite numerali.
In tal caso sarebbe necessario un doppio sistema di simboli: un insieme infinito di simboli per le infinite ‘unità complesse’ (gruppi: unità semplici, diecine, centinaia, ecc.) e un insieme finito di simboli per rappresentare il numero finito delle ‘unità semplici’ (nove nel sistema di numerazione decimale).
Il principio di economia applicato all’antico abaco romano portò a utilizzare simboli scritti al posto dei sassolini o dei bottoni, ponendo dentro ciascuna scanalatura un gettone con impressa la cifra che ne indica il numero.
Nell’esempio dell’abaco a colonne di figura 1, al posto di sette sassolini (o bottoni) che dovrebbero essere posti nella colonna delle diecine si utilizza un solo simbolo-segno: la cifra 7 (per maggiore chiarezza si sono riportate le attuali cifre indo-arabe e non gli apici di Boezio originali).
In cima ad ogni colonna continua, inoltre, a comparire la cifra dell’ordine di unità cui la colonna è dedicata.
Il termine gettone deriva dal latino iacere che significa gettare. Infatti, i calculi nell’abaco a lapilli erano gettati entro le scanalature: il gettone sostituì così di nome e di fatto l’operazione del ‘gettare i sassolini’, soppressa nel nuovo abaco a colonne o a gettoni (detto anche di Boezio per ragioni storiche).
20250711 DILA APS IL DISPARI professionisti
Il falso storico della Tavola Pitagorica e il principio posizionale dell’abaco
II PARTE
Ripercorrere l’intricato iter che ha portato al falso storico della Tavola Pitagorica mostra aspetti molto interessanti dell’ultimo tipo di abaco medioevale, la Mensa Pythagorea o abaco a colonne o abaco a gettoni, che dimostrano l’uso, già nell’abaco, del principio posizionale del sistema di numerazione scritta indiano.
Per i dettagli su questo argomento rimando al mio articolo La tavola pitagorica: un falso storico dimenticato («Alice&Bob», n. 15, 2009, MatePristem Bocconi Springer-Verlag, Milano. Online anche in http://matematica.unibocconi.it/articoli/la-tavola-pitagorica).
Nel riprodurre il manoscritto dell’’Ars Geometrica, contenuta nell’opera De Institutione Arithmetica dell’erudito e console romano Manlio Torquato Severino Boezio (475-524), il copista, per errore, sostituì l’abaco tardo medioevale a gettoni, in essa trattato, con la tavola di moltiplicazione, di aspetto assai simile, già in uso dal 450 per opera del monaco Vittorio d’Aquitania, conservando però per quest’ultima il nome Mensa Pythagorea che designava l’abaco. Secondo le moderne indagini filologiche, tuttavia, sembra che l’Ars Geometrica non sia di Boezio, bensì un’opera medievale del secolo XI, che raccoglie contributi di vari autori.
La denominazione Mensa Pythagorea deriverebbe allora dalla attribuzione dell’abaco in essa trattato ai tardo-neopitagorici del secolo XI e non ai neopitagorici della scuola alessandrina, seguaci diretti dell’antica Scuola Pitagorica.
Di conseguenza sarebbe errata l’attribuzione a Pitagora, o ai suoi diretti seguaci, dell’abaco descritto nell’Ars Geometrica, appartenendo invece al basso Medioevo.
Il primo a rilevare questo falso storico è stato Corrado Mannert nel 1801 (De numerorum, quos Arabicos vocant, vera origine pythagorica). Successivamente anche Michel Chasles nel 1843 («Comptes Rendus hebdomadaires des Sciences de l’Academie des Sciences de Paris»), Von Gustav Enestrom nel 1894 («Bibliotheca Mathematica») e Paul Tannery nel 1897 («L’Intermediaire des Mathematiciens»), hanno citato la sostituzione dell’abaco neopitagorico con la tavola di moltiplicazione.
Luca Nicotra
Anche Guglielmo Libri, celebre matematico e bibliofilo italiano dell’Ottocento, nel 1839 prese in considerazione tale errore, tant’è che menziona l’abaco neopitagorico nella sua tesi sull’origine delle nostre cifre (Note sur l’origine de nos chiffres et sur l’Abacus des Pythagoriciens). Tuttavia, ancor oggi si perpetua questo falso storico e si continua ad attribuire a Pitagora la paternità della ben nota tavola di moltiplicazione. Ma qual è la somiglianza che ha indotto il copista a scambiare l’abaco a gettoni o Mensa Pythagorea con la moderna tavola di moltiplicazione? Per capirlo dobbiamo analizzare la struttura e il funzionamento dell’abaco a gettoni. Già l’antico abaco a lapilli utilizzato dai romani conteneva l’idea del valore posizionale delle cifre, in quanto ogni scanalatura era dedicata a un ordine di unità e quindi determinava il ‘peso’ dei sassolini (calculi) in essa contenuti. Per esempio, tre sassolini entro la scanalatura delle unità semplici hanno il valore di tre unità semplici, mentre se contenuti nella scanalatura delle centinaia hanno il valore di tre centinaia, e così via. La rappresentazione strumentale dei numeri, a Roma, fornita dall’abaco era, quindi, posizionale, mentre quella scritturale, tramite i numerali, era additiva. La stessa osservazione vale per il successivo tipo di abaco utilizzato dai romani: l’abaco a bottoni, che può essere considerato una versione più raffinata e perfezionata dell’abaco a lapilli.
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