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20250725 DILA APS IL DISPARI professionisti
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Il falso storico della Tavola Pitagorica e il principio posizionale dell’abaco
IV PARTE
Le cifre impresse sui gettoni dell’abaco a colonne, che inizialmente non comprendevano ancora lo zero, furono chiamate apici da Boezio stesso (figura 2) e figure d’abaco successivamente. Esse erano molto somiglianti alle cifre indo-arabiche dette ghobar (figura 3), diffuse dagli arabi occidentali della Spagna. Gli apici di Boezio subirono molte varianti dovute alla fantasia dei copisti, che arrivarono a ruotare sul fianco e persino a riprodurre soltanto una parte degli archetipi originali. Soltanto dopo il XIII-XIV secolo essi cominciarono a stabilizzarsi in forme molto somiglianti a quelle delle nostre cifre attuali (figure 4, 5).
Lo stesso Boezio dà spiegazione del diverso ‘peso’ che gli apici hanno nelle diverse colonne dell’abaco, confermando il loro valore posizionale. La somiglianza fra gli apici di Boezio, utilizzati nell’abaco Mensa Pythagorea, e le cifre indo-arabiche del secolo XI ha fatto attribuire alla tavola di moltiplicazione dei numeri naturali del sistema posizionale decimale lo stesso nome Mensa Pythagorea dell’abaco tardo medioevale.
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Il falso storico della Tavola Pitagorica
e il principio posizionale dell’abaco
III PARTE
Il sistema utilizzato per numerare si basa, già da tempi remoti, sulla possibilità di pensare un numero come somma delle sue unità semplici, raggruppate in gruppi di potenze della base del sistema di numerazione adottato.
Nel sistema di numerazione decimale, pertanto, i successivi gruppi contengono tante unità semplici quante ne indicano le successive potenze naturali della base ‘dieci’: 100=1, 101=10, 102=100, 103=1000, 10n…..unità.
Come è noto, tali gruppi sono considerati essi stessi ‘unità complesse’, rispettivamente del primo ordine o semplici, del secondo ordine o decine, del terzo ordine o centinaia, del quarto ordine o migliaia, e così via.
In tal modo, nel sistema decimale, dieci unità di un certo ordine formano un’unità dell’ordine immediatamente superiore. Per rappresentare un numero si può ricorrere a simboli, che possono essere sia oggetti sia segni scritti.
Nel caso della scelta di simboli-oggetto, si ha l’abaco nelle sue varie forme e la rappresentazione strumentale dei numeri.
Per rappresentare le unità semplici si usano simboli-oggetto tutti uguali fra loro (per esempio i calculi) in quantità pari al numero massimo di unità ammissibile per ogni ordine (nove nel sistema decimale), oppure in quantità minore, se si conviene di assegnare ad alcuni di essi un valore diverso, come avviene in diverse varianti sia dell’abaco a lapilli sia dell’abaco a bottoni (ove il bottone superiore vale il numero di bottoni inferiori più uno).
La distinzione dei vari ordini di unità è affidata alla diversa posizione delle scanalature in seno all’abaco.
Nel caso, invece, di simboli-scritti o cifre, si ottiene un sistema di numerazione scritta e la rappresentazione scritturale dei numeri tramite numerali.
In tal caso sarebbe necessario un doppio sistema di simboli: un insieme infinito di simboli per le infinite ‘unità complesse’ (gruppi: unità semplici, diecine, centinaia, ecc.) e un insieme finito di simboli per rappresentare il numero finito delle ‘unità semplici’ (nove nel sistema di numerazione decimale).
Il principio di economia applicato all’antico abaco romano portò a utilizzare simboli scritti al posto dei sassolini o dei bottoni, ponendo dentro ciascuna scanalatura un gettone con impressa la cifra che ne indica il numero.
Nell’esempio dell’abaco a colonne di figura 1, al posto di sette sassolini (o bottoni) che dovrebbero essere posti nella colonna delle diecine si utilizza un solo simbolo-segno: la cifra 7 (per maggiore chiarezza si sono riportate le attuali cifre indo-arabe e non gli apici di Boezio originali).
In cima ad ogni colonna continua, inoltre, a comparire la cifra dell’ordine di unità cui la colonna è dedicata.
Il termine gettone deriva dal latino iacere che significa gettare. Infatti, i calculi nell’abaco a lapilli erano gettati entro le scanalature: il gettone sostituì così di nome e di fatto l’operazione del ‘gettare i sassolini’, soppressa nel nuovo abaco a colonne o a gettoni (detto anche di Boezio per ragioni storiche).
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